Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

.

Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют .

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

  1. значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
  2. значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .

Урок алгебры в 7-м классе на тему «Линейная функция и ее график»

Разделы: Математика

Цели: рассмотреть случаи взаимного расположения прямых – графиков линейных функций; ввести понятие углового коэффициента k; развивать навыки построения прямых по координатам точек; приучать учащихся к аккуратному построению прямых.

Оборудование:

  • Компьютер и мультимедийный проектор.
  • Презентация “Линейная функция и ее график” (Приложение).

    • 1. Изучение нового материала.

    Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

    Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции при b = 0.

    Возьмем графики функции y = 0,5x и у = 0,5х + 2.

    Если график функции у = 0,5x сдвинуть на 2 единицы вверх, то каждая точка графика функции у = 0,5х перейдет в точку графика функции у = 0,5х + 2. При этом любая точка графика у = 0,5х + 2 получается из соответствующей точки графика функции y = 0,5x.

    График функции y=kx+b, где k, есть прямая, параллельная прямой y=kx.

    Если k=0, то формула y=kx+b принимает вид y = b. Графиком функции y = kx + b является прямая, параллельная оси х при b0 или сама ось х при b = 0.

    Графиком линейной функции является прямая.

    Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

    Расположение графика функции y=kx+b на координатной плоскости зависит от коэффициентов k и b.

    Число k называется угловым коэффициентом прямой – графика функции у = kx + b.

    Если k>0, то угол наклона прямой у=kx+b к оси х острый; если k 2 – 3 нет;

    б) у = 7 – 9х да; г) нет; е) да.

    а) х = –1,5; у = – 3 • (– 1,5) + 1,5 = 6

    х = 2,5; у = –3 • 2,5 + 1,5 = –7,5 + 1,5 = –6

    х = 4; у = –3 • 4 + 1,5 = –2 + 1,5 = –10,5

    Математика

    Тестирование онлайн

    Определение. График

    Линейной функцией называется функция вида

    где k, b — некоторые числа.

    Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.

    Графиком линейной функции является прямая линия.

    Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.

    Свойства линейной функции

    1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

    2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел

    3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

    4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

    5) Функция непериодическая.

    6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (0; b).

    7) — является нулем функции.

    8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

    При k 0, то этот угол острый, если k 0, то линейная функция у = kx + b возрастает если k 0) х 0 у y = kx + m (k

    • Хазиева Зиля Давлиевна
    • Написать
    • 2648
    • 08.11.2016

    Номер материала: ДБ-331258

    Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

    Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

    • 08.11.2016
    • 225
    • 08.11.2016
    • 222
    • 08.11.2016
    • 592
    • 08.11.2016
    • 473
    • 08.11.2016
    • 199
    • 08.11.2016
    • 1430
    • 08.11.2016
    • 1204

    Не нашли то что искали?

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Линейная функция

    График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

    Общее уравнение прямой имеет вид (y=kx+b) , где (k) — коэффициент (тангенс угла) наклона прямой, (b) — точка пересечения с осью (y) .

    Так как у прямой на графике (b>0) , то варианты 2) и 4) точно не подходят.

    Данная прямая образует острый угол с положительным направлением оси (x) (“наклонена вправо”), значит, (k>0) . Подходит вариант 3).

    График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

    Общее уравнение прямой имеет вид (y=kx+b) , где (k) — коэффициент (тангенс угла) наклона прямой, (b) — точка пересечения с осью (y) .

    Так как у прямой на графике (b>0) , то варианты 3) и 4) точно не подходят.

    Данная прямая образует тупой угол с положительным направлением оси (x) (“наклонена влево”), значит, (k 0) , то есть 1).

    Графику C соответствует формула 2).

    Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

    Формулы:

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    Общее уравнение прямой имеет вид (y=kx+b) , где (k) — коэффициент (тангенс угла) наклона прямой, (b) — точка пересечения с осью (y) .

    Только график A составляет тупой угол с положительным направлением оси (x) (“наклонен влево”). Значит, только ему соответствует отрицательный коэффициент (k) . График A задан формулой 2).

    Рассмотрим графики B и C. Первый из них пересекает ость (у) выше нуля, значит, ему соответствует формула с (b>0) , то есть 1).

    Графику C соответствует формула 3).

    Дана функция (y=kx+b) . Известно, что (b>0, k>0) . На каком рисунке изображен график этой функции?

    Общее уравнение прямой имеет вид (y=kx+b) , где (k) — коэффициент (тангенс угла) наклона прямой, (b) — точка пересечения с осью (y) .

    Если (b>0) , то график пересекает ось (y) выше 0. Если (k>0) , то прямая образует острый угол с положительным направлением оси (x) (“наклонен вправо”). Подходит вариант 4).

    Линейная функция

    Функция называется линейной, если ее можно записать в виде (y=kx+b), где (k) и (b) -некоторые числа.

    Функция не всегда сразу задана в виде (y=kx+b), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, (y=6(x-1)+10x) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим (y=16x-6).

    График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

    Чтобы в этом убедиться построим графики функций (y=2x), (y=fracx-5), (y=8).

    Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

    Как меняется график при разных (k)?

    Чтобы определить, как влияет на график коэффициент (k), построим несколько функций разными (k): (frac),(-frac),(2),(-2) и (0). При этом во всех функциях сделаем (b) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
    То есть, построим графики для функций: (y=fracx), (y=-fracx), (y=2x), (y=-2x), (y=0).

    Заметьте, что при (k=2) и (frac) — функция возрастает, а при (k=-2) и (-frac) — убывает. На самом деле:

    При любом (k>0) функция возрастает и при любом (k 0)) либо опускается на (|b|) если
    ((b 0),(b>0)

    3) (k 0), (b 0). Подходит вариант под цифрой 2).

    B. — функция возрастает — (k>0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится выше нуля, значит (b>0). Подходит вариант под цифрой 1).

    C. – функция убывает — (k 0)) или вниз на тоже количество (если (k 0). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на (3). Ставим точку.

    Проводим через эти две точки прямую.

    Пример: Построить график функции (y=-frac x-3).

    (b=-3) отмечаем точку с этим значением на оси (y).

    Источник: softaltair.ru

    Добавить комментарий